单位阶跃序列

🔍信号与系统考研宝典🔍：解锁常见序列DTFT之单位阶跃序列的秘密！

🌟考研的勇士们，今天我们来深入剖析信号与系统复习中的一大要点——常见序列的DTFT（离散时间傅里叶变换），并将焦点对准那个看似简单却蕴含无限奥妙的单位阶跃序列！👀✨

🌈 单位阶跃序列：信号处理的基石

单位阶跃序列，作为信号处理领域中的基本元素，其定义简洁明了：

[

u[n] = \begin{cases}

1, & \text{if } n \geq 0 \

0, & \text{if } n < 0

\end{cases}

]

别看它只有两种取值，却在信号与系统分析中扮演着举足轻重的角色！

🔍 DTFT下的单位阶跃序列：频域中的独特风景

那么，单位阶跃序列在DTFT下的表现如何呢？让我们一探究竟！

对于单位阶跃序列u[n]，其DTFT U(ejω)可以通过直接计算得到：

[

U(e{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}{\infty} u[n] e{-j\omega n} = \sum_{n=0}{\infty} e{-j\omega n} = \frac{1}{1 - e{-j\omega>

]

注意，这里我们利用了单位阶跃序列的性质，即当n<0时，u[n]=0，因此求和可以简化为从0到无穷的求和。

🔍 深入解析：频域中的特性

观察U(ejω)的表达式，我们可以发现几个有趣的特点：

极点与收敛性：U(ejω)在ω=2πk（k为整数）处有极点，这意味着在这些频率点上，DTFT的模会趋于无穷大。然而，由于这些极点都是可去极点，通过极限运算我们可以得到在这些点上的值（实际上是不存在的，因为趋于无穷）。周期性：虽然单位阶跃序列本身不是周期序列，但其DTFT的模在[−π,π)区间内是周期性的，周期为2π。这是因为e−jωn的周期性导致的。物理意义：单位阶跃序列的DTFT反映了信号在频域中的直流分量（ω=0时）以及各次谐波分量的叠加。由于单位阶跃序列在时域中是从0开始持续增长的，因此其频域表示中包含了所有频率的成分，但各频率成分的幅度会随着频率的增加而逐渐减小。📚 考研复习要点理解定义：确保对单位阶跃序列的定义有清晰的认识。掌握计算：熟练掌握单位阶跃序列DTFT的计算方法，能够推导出其DTFT的表达式。分析特性：深入分析单位阶跃序列DTFT的模和辐角特性，理解其在频域中的表现。结合应用：将单位阶跃序列的DTFT知识应用到实际问题中，如信号分析、系统响应等。💪 考研加油

掌握了单位阶跃序列的DTFT，你就相当于在信号与系统考研的道路上拥有了一块坚实的基石！继续加油，向更高的目标冲刺吧！🏃‍♂️💨

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发布于：山东省